Talk:因數

n的"正因數數目"是"積性函數"??

主文中寫着:

n的正因數數目是積性函數

好像沒這回事吧! 是哪位仁兄胡說一通呢?

舉個反例子: 12
12 的正因數是 1, 2, 3, 4, 6, 12. 所以 d(12) = d(2 x 6) = 6.
但是 d(2) = 2 和 d(6) = 4, 所以 d(2) x d(6) = 8 而不是 6 呀!
石庭豐 (留言) 2011年8月2日 (二) 11:52 (UTC)

您指的可能是完全积性函数。积性函数一词一般指互质积性。rvalue（留言） 2019年6月15日 (六) 02:51 (UTC)

我看完這篇的想法

明顯因數是:[-n、-1、1、n]
所以2、-2的因數有:[-2、-1、1、2]
25、-25的因數有:[-25、-5、-1、1、5、25]
既然如此，是否該在各個數字條目裡的因數介紹放上±標記?如:[±1、±2]
或用[-2、-1、1、2]的方式來表示?
或是全部只用正整數來表示(與現在相同)?若用正整數表示，那麼-1條目怎辦?--Jason924tw（留言） 2013年6月15日 (六) 01:29 (UTC)

需不需要改一下简繁转换？

• 我五年级时使用的数学书中，定义是“因数又称约数”。--A-Chinese-User（留言） 2017年6月19日 (一) 11:28 (UTC)

条目中是否应存在计算机代码？

条目中存在一些低效或者实现原理不明的计算机代码，个人认为并不切合这个条目的主题。
rvalue（留言） 2019年6月15日 (六) 02:55 (UTC)

負整數有因數嗎？

負整數有因數嗎？進而，負整數與另一個整數有公因數，乃至最大公因數嗎？

比方說，gcd(12,-18)或gcd(-12,18)或gcd(-12,-18)是存在的嗎？

關於負整數是否有因數，條目因數與負整數的敘述明顯不同，因此兩者至少有一個是錯的。---游蛇脫殼/克勞棣 2026年3月12日 (四) 16:58 (UTC)

在數論與抽象代數中，對於任意兩個整數（以下假設為甲與乙），若存在另一個整數（假設為丙）使得乙等於甲乘以丙，則稱甲整除乙。此時甲稱為乙的因數（或約數）。 由於整數環包含負整數，定義中的丙亦可為負整數，因此負整數具有因數，且能作為其他整數的因數。

=== 引理：因數的正負號對稱性 === 敘述： 對於任意整數甲與乙，「甲整除乙」、「甲的相反數整除乙」以及「甲整除乙的相反數」這三種敘述互為等價。 證明： 若甲整除乙，根據定義，存在整數丙使得乙等於甲乘以丙。 將方程式改寫，可得出乙等於「甲的相反數」乘以「丙的相反數」。 由於整數對於加法反元素具有封閉性，丙的相反數必定也是整數。根據整除的定義，這表示甲的相反數能夠整除乙。 同理，由「乙等於甲乘以丙」等號兩側同乘負號，可得出乙的相反數等於負的甲乘以丙，也就是「乙的相反數等於甲乘以丙的相反數」。因為丙的相反數是整數，故甲能夠整除乙的相反數。 證畢。此引理證明了整數的正負號不影響其整除關係。

=== 定理：最大公因數的符號無關性 === 定義： 假設整數甲與乙不全為零。若整數丁同時滿足「丁整除甲」且「丁整除乙」，則稱丁為甲與乙的公因數。在甲與乙的所有公因數中，數值最大的正整數稱為最大公因數。 敘述： 對於任意不全為零的整數甲與乙，其最大公因數恆等於「甲的絕對值」與「乙的絕對值」的最大公因數。 證明： 定義「公因數集合」為兩個整數的所有公因數所構成的集合。 根據前述的「因數對稱性引理」，任何整數的因數集合與其相反數的因數集合是完全相同的，亦即某數能整除原整數，等價於某數能整除該整數的相反數。 因此，對於任何正負號組合，其公因數集合皆相等：甲與乙的公因數集合，等於「甲的相反數與乙」的公因數集合，等於「甲與乙的相反數」的公因數集合，等於「甲的相反數與乙的相反數」的公因數集合。 由於這四種情況的公因數集合，皆等同於將兩數取絕對值後（即正整數化）的公因數集合，這表示它們擁有完全相同的一組公因數。 既然集合相同，該集合中的最大元素（即最大公因數）必定也相同。 結論：甲與乙的最大公因數，等於甲的相反數與乙的最大公因數，等於甲與乙的相反數的最大公因數，等於甲的相反數與乙的相反數的最大公因數，且最終皆等於甲的絕對值與乙的絕對值的最大公因數。 證畢。這解釋了為何負十二與負十八的最大公因數，與十二與十八的最大公因數皆存在，且同樣為六。--~2026-15928-34（留言） 2026年3月13日 (五) 06:39 (UTC)