Noiselet

Noiselet是一种具有类似杂讯性质的函数。在数学结构上，它们与Haar 小波 (Haar Wavelet) 基底之间存在一种特殊的对偶关系，既两者是完全不相干(Perfectly Incoherent)的。

这意味著，Noiselet 函数在Harr 小波包分析（Wavelet Packet Analysis）中会表现出“最差情况”——换言之，Noiselet 在 Haar 小波域中是完全不可压缩的，其能量会最大限度地分散。这种关系可以类比于“傅立叶级数基底”与“时域讯号”或是“标准基底”之间的关系：正如在时域上极为集中的脉冲讯号，在频域(傅立叶域)上是均匀分布的一样；如果一个信号在小波域具有紧致支集(Compact Support）或稀疏性(Sparsity)，那么该信号在 Noiselet 域中就能被完全展开(Expanded)^[1]。

凭借这种与 Haar 基底的完全不相干性，加上 Noiselet 本身具有能够高效实作的快速演算法，使其成为压缩感知(Compressed Sensing)应用中极为理想的工具，特别适合作为那些在 Haar 域中呈现稀疏特性的信号之采样基底（Sampling Basis)。

定义

Noiselet的基底函数 $\chi (x)$ 定义如下：

$\chi (x)={\begin{cases}1,&x\in [0,1)\\0,&otherwise\end{cases}}$

Noiselet函数族 (The family of noiselets) 是透过以下方式递回地 (Recursively) 建构而成：

$f_{1}(x)=\chi (x)$
$f_{2n}(x)=(1-i)f_{n}(2x)+(1+i)f_{n}(2x-1)$
$f_{2n+1}(x)=(1+i)f_{n}(2x)+(1-i)f_{n}(2x-1)$

其中 i 为虚数单位。

$f_{n}$ 的性质

集合 $\{f_{j}|j=2^{N},...,2^{N+1}-1\}$ 构成空间 $V_{n}$ 的一组正交基底 (Orthogonal basis)。

这里的 $V_{n}$ 指的是在解析度 $2^{N}$ 下，对 $L^{2}[0,1)$ 空间中函数的所有可能逼近空间 (Space of approximations)。

对于所有 $n\geq 1$ 的，满足以下积分性质：

$\displaystyle \textstyle \int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)dx=1$

对于所有 $n\geq 1$ 的，函数 $f_{n}(x)$ 也可以表示为以下乘积形式：

${\prod _{i=1}^{\ell (n)-1}}{\tilde {\tau }}_{v}{_{j(n)}}(2^{j}x)\in [0,1]$

Noiselet 的矩阵建构

Noiselet 可以被扩展并离散化。扩展函数 (extended function) $f_{m}(k,l)$ 定义如下：

$f_{m}(1,l)={\begin{cases}1&l=0,...,2^{m}-1\\0,&otherwise\end{cases}}$
$f_{m}(2k,l)=(1-i)f_{m}(k,2l)+(1+i)f_{m}(k,2l-2^{m})$
$f_{m}(2k+1,l)=(1+i)f_{m}(k,2l)+(1-i)f_{m}(k,2l-2^{m})$

利用扩展的 Noiselet $f_{m}(k,l)$ ，我们可以生成 $n\times n$ 的 Noiselet 矩阵 $N-n$ ，其中 n 为 2 的幂次 $(n=2^{q})$ ：

$N_{1}=[1]$ $N_{2}n=1/2{\begin{pmatrix}1-i&1+i\\1+i&1-i\end{pmatrix}}\otimes N_{n}$

在此， $\otimes$ 表示克罗内克积 (Kronecker product)。

假设 $2^{m}>n$ ，我们可以发现矩阵元素 $N_{n}(k,l)$ 等于 $f_{m}(n+k,2^{m}*l/n)$ 。

Noiselet 矩阵的元素取值是离散的，并来自于两个四元素集合之一（取决于 q 的奇偶性）：

${\sqrt {n}}N_{n}(j,k)\in \{1,-1,i,-i\}$ 当q为偶数
${\sqrt {2n}}N_{n}(j,k)\in \{1+i,1-i,-1+i,-1-i\}$ 当q为奇数

二维 Noiselet 变换 (2D noiselet transform)

二维 Noiselet 变换是透过一维 Noiselet 变换的克罗内克积获得的：

${N_{n\times k}^{2D}}=N_{k}\otimes N_{n}$

应用

由于 Noiselet 与小波之间的互补性（Complementarity），Noiselet 可被应用于压缩感知 (Compressed Sensing) 中，用来重建在小波域中具有紧致表示（Compact representation）的信号（例如图像）^[2]。具体而言，可以在 Noiselet 域中获取MRI数据，随后利用压缩感知重建演算法，从欠采样（Undersampled）的数据中还原出清晰的图像^[3]。

以下是 Noiselet 已被实际实作的一些应用案例：

磁振造影 (Magnetic Resonance Imaging, MRI):

Noiselet 编码是一种应用于磁振造影（MRI）的技术，旨在减少图像采集所需的时间。在传统的 MRI 中，成像过程通常涉及使用梯度场对空间资讯进行编码。传统的采集方式依赖于笛卡尔编码 (Cartesian encoding)，即在笛卡尔网格上对空间资讯进行逐行采样。然而，这种方法非常耗时，特别是在需要高解析度或动态成像的情况下。作为压缩感知技术的一部分，利用了图像本身的稀疏性（Sparsity）来实现更高效的数据获取。在压缩感知中，其核心理念是：如果潜在的信号或图像在某个变换域中是稀疏的，则可以采集远少于奈奎斯特-香农采样定理 (Nyquist-Shannon sampling theorem) 所要求的样本数。在 MRI 中的应用概述如下：使用 Noiselet 变换矩阵对信号进行编码，产生的系数能有效地将信号能量分散到整个尺度和时间域中。因此，这些变换系数的每一个子集（Subset）都捕捉到了原始信号的整体特征资讯。当仅使用部分系数（其馀补零）进行独立重建时，每一个子集都能以较低的解析度还原出原始信号。由于 Noiselet 编码并非依序采样所有的空间频率分量，这种欠采样策略允许使用更少的测量次数来重建图像，从而在不显著牺牲图像品质的前提下，实现更高效的成像。

单像素成像 (Single-pixel Imaging):

单像素成像是利用单个侦测器（而非百万像素的感光元件阵列）来测量光强度的技术。样本会被一系列图样照明，透过测量反射或透射的总光强来获取资讯。Noiselet 被应用于此领域以提高计算效率，其原理同样基于压缩感知。

Noiselet 带来的主要优势包括：

减少测量次数：计算所需的测量次数显著减少。
数据压缩：图像的压缩表示减少了传输时间与储存需求。
快速成像：整体的采集时间显著缩短，使得单像素成像适用于需要快速反应的应用场景。

这些特性使独Noiselet 在单像素成像中有以下应用：将 Noiselet 变换矩阵应用于结构光照明 (Structured illumination) 图样中，这会将物体的空间资讯扩散到测量空间中。这些结构化图样导致信号资讯的稀疏表示。这允许从一组缩减的测量数据中重建图像，同时仍能封装重建高品质图像所需的核心资讯

数位影像加密:

如同将照片化为无形的数位杂讯Noiselet 变换在资讯安全领域展现了独特的价值，特别是在影像加密上，它扮演著一种极高效率的“数学碎纸机”角色。不同于传统加密仅仅是移动像素的位置，Noiselet 利用其全域性的能量扩散特性，能将原本清晰的照片瞬间转换成看似随机、毫无意义的白杂讯画面。这种过程在数学上被称为“雪崩效应（Avalanche Effect）”，意即原始影像中哪怕只有一个像素的微小变动，都会导致加密后的结果产生翻天覆地的变化。这意味著攻击者若试图透过统计分析来破解图像（例如分析色彩分布）将会徒劳无功，因为原始的视觉特征已被 Noiselet 函数彻底打散并隐藏在复数域的随机性之中，唯有持有正确密钥的人才能将这些杂讯重新聚拢回原本的影像。

强健数位浮水印:

全息图般的版权保护在版权保护方面，Noiselet 提供了一种近乎“全息图（Holographic）”式的解决方案。当我们利用 Noiselet 技术将浮水印（如版权标志）植入图片时，这并不是像盖章一样盖在图片的某个角落，而是将浮水印的能量均匀地“溶解”在整张图片的每一个像素里。这种特性使得浮水印对肉眼完全不可见，不会影响图片的美观；更重要的是，它赋予了浮水印极强的强健性（Robustness）。即便这张图片遭到恶意裁切、遮挡或遗失了一半的数据，由于浮水印的资讯散布在全域，版权持有者依然能从剩馀的残片中，透过逆变换提取出完整的浮水印资讯。这正是利用了 Noiselet 与小波变换之间的互补不相干性，让版权资讯能在最恶劣的环境下生存^[1]。

雷达与声纳波形设计:

藏木于林的匿踪讯号虽然 Noiselet 最初是为了解析影像而生，但其数学构造却意外地适合用于设计“低截获率（LPI）”的雷达或声纳波形。在战场或复杂的侦测环境中，发出的探测波如果太有规律，很容易被敌方锁定或干扰。Noiselet 产生的波形具有平坦的频谱，在频域上看起来就像是毫无规律的背景杂讯。使用这种波形进行探测，就像是在吵杂的派对中用只有自己人懂的“密码语”轻声交谈；对于敌方的侦测设备而言，这只是无意义的环境噪音，但对于发送者来说，透过其优异的正交特性，却能精准地从回波中解析出目标的距离与速度。这种“藏木于林”的特性，使得 Noiselet 成为现代隐形侦测技术中极具潜力的波形选择^[1]。

参见

参考文献

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 R. Coifman, F. Geshwind, and Y. Meyer, Noiselets, Applied and Computational Harmonic Analysis, 10 (2001), pp. 27–44. doi:10.1006/acha.2000.0313
^ E. Candes and J. Romberg, Sparsity and incoherence in compressive sampling, 23 (2007), pp. 969-985. doi:10.1088/0266-5611/23/3/008
^ K. Pawar, G. Egan, and Z. Zhang, Multichannel Compressive Sensing MRI Using Noiselet Encoding, 05 (2015), doi:10.1371/journal.pone.0126386

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[coifman01-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 R. Coifman, F. Geshwind, and Y. Meyer, Noiselets, Applied and Computational Harmonic Analysis, 10 (2001), pp. 27–44. doi:10.1006/acha.2000.0313

[candes07-2] E. Candes and J. Romberg, Sparsity and incoherence in compressive sampling, 23 (2007), pp. 969-985. doi:10.1088/0266-5611/23/3/008

[pawar01-3] K. Pawar, G. Egan, and Z. Zhang, Multichannel Compressive Sensing MRI Using Noiselet Encoding, 05 (2015), doi:10.1371/journal.pone.0126386

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定义

f n {\displaystyle f_{n}} 的性质